TEORÍA DE COLAS


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Las colas son parte de la vida diaria. Todos en algún momento de nuestra vida hemos esperado en colas para comprar un boleto para el cine, hacer un deposito en el banco , pagar en el supermercado , enviar un paquete por correo, obtener comida en la cafetería , subir a un juego en la feria, ser atendido en un consultorio medico , entre otros.[1] Es común que los tiempos de espera no son los que deseamos, esperas largas. Las esperas además de convertirse en una molestia personal, son un factor importante que cada país debe manejar de forma eficiente. El tiempo que se pierde en líneas de esperas o colas podría ser aprovechado en otras actividades que pueden influir en la mejora de la calidad de vida.


Existen diferentes alternativas para implantar en la teoría de colas , dentro de las mas importantes podemos considerar: el análisis subjetivo en donde hay muy poca cuantificacion del problema, se busca tomar una decisión basado en las creencias y experiencias. los métodos matematicos incluyen modelos descriptivos y estadísticas. por ultima las técnicas de simulación (redes complejas de colas), con esta alternativa se simula un modelo se pone a funcionar durante un tiempo y se registran las características del mismo.


En la investigación de operaciones se analizan muy poco los factores subjetivos y la percepción de eficiencia por parte de los clientes o usuarios del servicio , aunque en ocasiones este es el factor que hace el peso mayor, o por lo menos muy importante en la solución del problema. La evaluación de los aspectos subjetivos que acompañan el factor matemático en la toma de decisiones en problemas de colas de espera , tienen un distinto peso o valoración, según cada situación, y por ello dentro del modelo planteado se debe buscar contribuir al análisis global de los problemas de línea de espera en situación de servicio por intermedio de personas.

MODELO MATEMÁTICO EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES


La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un servidor, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.




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Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matematicos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema, es decir, el estudio de las colas o lineas provee un gran numero de modelos matemáticos para describirlas. Una cola es donde los clientes esperan antes de ser atendidos, se caracteriza por el numero máximo permisible de clientes que puede admitir y las colas deben poseer uno o varios servidores y personas en espera. Todo inventario constituye una cola. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo sencillo de colas. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y marchan cuando se obtiene el servicio requerido.dado.
Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas.



[1]Tomado y modificado de HILLIER F. LIEBERMAN. G. investigación de operaciones. Capitulo 18.


ESTRUCTURA BÁSICA DE LOS MODELOS DE COLAS

Proceso Básico de colas

El proceso basico supesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren un servicio se generan a traves del tiempo en un afuente de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado moments se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, despues de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

Tal como se muestra en la siguiente figura,

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EXPLICACION DE LA FIGURA 17.1:


FUENTE DE ENTRADA (poblacion potencial)

Una caracteristica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el nomero totalde clientes que pueden requeriri servicio en determinado momento, es decir, el numero total de clientes potenciales distintos. Esta poblacion a partir de la cual surgen las unidades que llegan se conoce como poblacion de entrada.

El tamaño es infinito o finito, de modo que tambien se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada.


COLA

Una cola se caracteriza por el numero maximo permisible de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinita, segun si este numero es finito o infinito. La suposicion de una cola infinita es el estandar para la mayor parte d elos modelos, incluso en situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente grande) sobre el numero permitido de clientes, ya que manejar un cota asi puede ser un factor complicado para el annalisis. Los sistemas de colas en los que la cota superior es tan pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia, necesitan suponer una cola finita.


DISCIPLINA DE LA COLA

La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan susu miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser: primero en entrar, primero en salir, aleatoria, de acuerdo a algun procedimiento de prioridad o algun otro orden. La que suponen como normal los modelos de colas es la de primero en entrar, primero en salir, a menos que se establezca otra cosa.


MECANISMO DE SERVICIO

El mecanismo de servicio consiste en una o mas instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o mas canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existe mas de una instalacion de servicio, puede ser que sirva al cliente a traves de una secuencia de ellas. En una instalacion dada, el cliente en uno de estos canales y el servidor presta el servicio completo. Un modelo de colas debe especificar el arreglo de las instalaciones y el numero de servidores en cada una. Los modelos mas elementales suponene una instalacion, ya sea con un servidor o un numero finito de servidores.


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Varios ejemplos de colas podrian ser:

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Las colas poseen un orden en lo que sus miembros son seleccionados para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser: Primero en entrar, primero en salir; aleatoria; de acuerdo con algún tipo de prioridad o con algún otro orden. El orden u organización más común es el de primeros en entrar, primeros en salir, o bien conocido por sus siglas en inglés: Fifo (first in, first out).

Para la solucion de los problemas que representan una cola de espera,se puede recurrir a varias alternativas, entre las mas importantes estan:
  • Análisis subjetivo
  • Método matemático
  • Técnicas de simulación

Análisis subjetivo: Se refiere a una toma de decisión,es decir, se hace un análisis particular por parte de un tomador de decisiones con base a sus creencias,experiencias y conocimientos, pero con muy poca cuantificación del problema.

Método matemático: En este metodo se aplica la teoria de colas (modelos descriptivos y estadísticos).

Técnicas de simulación:Para muchos sistemas no es posible encontrar una solución matemática, entonces en estos casos una alternativa es la simulación, donde se construye un
modelo y se opera durante un tiempo razonable, se registran las caracteristicas de la operación y se utilizan las cifras para calculos de promedios y medias de dispersión.

Características de las colas

  • Tiempo de llegada: El cual sigue una función exponencial, es aleatoria ya que varia con respecto al tiempo.
  • Tiempo de servicio: Es el tiempo en que se demora la persona en el preciso momento que esta siendo atendido.
  • Tiempo en la cola: Tiempo en el que se demora la persona en ser atendido.
  • Tiempo en un sistema: El tiempo total en que se demora una persona al entrar al sistema.
  • Clientes: Número de personas que se encuentran dentro del sistema.
  • Servidores: Número de personas que atenderán a los clientes.

Ejemplo de teoría de colas:


Este es un ejemplo clásico de la teoría de cola en la cual encontramos una cola y varios servidores; vemos que en el banco hay un numero de personas, las cuales tienen un orden con respecto al momento en que llegaron, que esperan ser atendidas en este caso por dos servidores.

En este vídeo podemos confirmar que el tiempo de llegada de los clientes es aleatoria; en todo momento no están entrando clientes al sistemas (banco), ni tampoco entran al sistema con la misma frecuencia de tiempo.



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Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución exponencial
  • Siempre hay un tiempo promedio y la única distribución que lo permite es la distribución exponencial.
  • La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños.
  • En general, se considera que las llegadas son aleatorias
  • La última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente


Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson
  • Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas
  • Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas


Sistemas de colas: La cola
  • El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio
  • El número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan en la cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio
  • La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar en la cola
  • Generalmente se supone que la cola es infinita
  • Aunque también la cola puede ser finita

Sistemas de colas: El servicio
  • El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples
  • El tiempo de servicio varía de cliente a cliente
  • El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio (m)


En la teoria de colas se usa la notación de Kendall la cual nos permite escribir resumidamente todas las características que hemos estudiado, Un sistema de colas se notará como: A | B | X | Y | Z | V, donde:

  • A es el modelo de llegadas o distribución de llegadas, Valores posibles:
    • M (Markoviana) = tiempos entre llegadas exponenciales.
    • D (Constante o degenerada) = tiempos entre llegadas deterministas.
    • G (General) = tiempos entre llegadas generales (cualquier distribución).

  • B es el modelo de servicio o distribución de tiempo de servicio, Puede tomar los mismos valores que A.
  • X es el número de servidores.
  • Z es la disciplina, Se puede omitir si es FIFO.
  • Y es la capacidad del sistema (número máximo de clientes en el sistema), Se puede omitir si es infinita.
  • V es el número de estados de servicio, Se puede omitir si es inf.
    Por ejemplo, M | M | 1 |FIFO |∞|inf se escribe abreviadamente M | M | 1.


Tipos de colas

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-COLAS MARKOVIANAS:

  • Las entradas y salidas son exponencial.
  • Son una cadena de markov en tiempo continuo, donde el numero de estados es el numero de clientes en cola, en el tiempo t.
  • Las Colas Markovianas se basan en los procesos de muerte y nacimiento.
  • Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes que arriban.
  • Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al servidor que queda libre.
  • Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio son distribuidos exponencialmente.


    M | M | 1 | = Hay infinitos estados ya que la cola es infinita.

    M | M | 1 |FIFO |5| Inf = Hay 6 estados ya que se incluye el 0 (cuando no hay nadie).



Terminología y notación:

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Supuestos:

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  • Muerte = Cliente sale del sistemas --> n = n -1
  • Nacimiento = Cliente que entra al sistema .--> n = n + 1

El proceso de nacimiento y muerte es un proceso es un tipo especial de cadena de Markov de tiempo continuo.Los modelos de colas que se pueden representar por una cadena de Markov de tiempo continuo son mucho mas manejables analíticamente que cualquier otro modelo.

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Las flechas en este diagrama muestran las únicas transiciones posibles en el estado del sistema y el termino junto a cada flecha es la tasa media para esa transición cuando el sistema se encuentre en el estado que hay en la base de la flecha.

tasa media de llegada al estado n es2.png
tasa media de salida del estado n es1.png

Pn es la probabilidad de que haya n clientes en el sistema de manera estacionaria.
por ser un sistema estacionario para cualquier estado n : 3.png


de la misma forma tenemos:
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por tanto:
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ELEMENTOS BÁSICOS:

Los elementos básicos de un modelo de espera dependen de los siguientes factores:
  1. Distribución de llegada (masiva o en grupos)
  2. Distribución del tiempo de servicio(servicio individual o en grupo)
  3. Diseño de la instalación del servicio (estaciones en serie, paralelo o en red)
  4. Disciplina del servicio (FCFS, LCFS, SIRO) y prioridad del servicio
  5. Tamaño de la línea de espera (finita o infinita)
  6. Fuente de llamadas (finita o infinita)
  7. Conducta humana (cambios, elusión y renuncia)
De acuerdo con las anteriores características, existen distintos modelos, entre ellos:


MODELO M/M/1
Entradas Markovianas , salidas Markovianas y un servidor

  • Cada nodo representa un estado.
  • Cada arco representa una transición entre estados.
  • En los arcos se indica la tasa de cambioQ.png

qqqq.png

QQ.png


M|M|S


Entradas markovianas, salidas markovianas y servidores en paralelo.





Cada estado tiene asociada una probabilidad, las cuales se calculan de la siguiente forma:

















Zona roja:










MODELO M/M/∞ O MODELO DE AUTOSERVICIO:


En este modelo, el numero de servidores es ilimitado porque el cliente mismo también es el servidor.

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9.png
Lq= 0 , notese Wq=0 porque cada cliente se atiende a si mismo. por tanto:
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-MODELOS NO MARKOVIANOS

  • M/G/1 :Entrada Markovianas, salida general es decir la distribución de probabilidad puede ser cualquiera (ej: distribución de poisson) y un servidor.

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EJEMPLO


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APLICACIONES
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TEORIA DE LINEAS DE ESPERA O COLAS
Como lo vimos anteriormente en clases cuando nos referimos a líneas de espera hacemos énfasis al número de clientes que esperan ser atendidos, y llevan un orden; turnos para la prestación de un servicio o ejecución de un trabajo.

Hoy día se pueden presenciar muchas aplicaciones, luego de navegar en la web encontré un importante artículo titulado Modelos de mercado: una aplicación de la teoría de colas donde se realizo una revisión de los modelos de mercado (monopolio, duopolio y competencia perfecta) en los que se utilizo la teoría de colas, el uso de la teoría de colas permite tratar modelos realistas donde se describe la demanda y la producción a través de procesos estocásticos, incorporando la incertidumbre.

El objetivo es analizar el proceso de aplicación de una teoría estadística es la modelización de estructuras de mercado tradicionales.

La teoría de colas constituye una rama de la teoría de la probabilidad aplicada, cuyo objetivo es proporcionar modelos que describan el comportamiento de sistemas que prestan un servicio a una demanda aleatoria. Ha sido aplicada, fundamentalmente y ampliamente, a sistemas informativos y de telecomunicaciones y de forma relativamente más novedosa a la economía y la empresa.

Los modelos de mercado en los que se ha utilizado la teoría de colas y que son de interés en este caso incorporan la incertidumbre bajo la forma incertidumbre de mercado por un lado se estudian los diversos procesos de búsqueda por parte de los consumidores, por otro lado se describe la oferta y la demanda a través de procesos estocásticos incorporando de esta forma la incertidumbre, esta aleatoriedad provoca que la oferta y la demanda no puedan estar sincronizadas y por tanto se formen colas de espera.

El hecho de que se forme una cola está indicando la existencia de un desequilibrio, se puede demostrar además que eliminare estas colas, consecuencia de la incertidumbre, es ineficiente y muy costoso, por ende se puede afirmar que el uso de la teoría de colas permite tratar modelos más realistas.

Esta línea la teoría de colas se ha utilizado para la modelización de estructuras de mercado tradicionales bajo incertidumbre, además para intentar caracterizar la naturaleza del equilibrio de la industria. Las industrias que tienen un especial interés son particularmente las de servicios y en general aquellas donde el tiempo de espera y el tiempo de servicio juegan un papel fundamental.

La teoría de colas permite incorporar explícitamente en la modelización el tiempo que necesariamente tiene que invertir un consumidor para la obtención del servicio que además se supone aleatorio debido a la incertidumbre.

Los modelos estudiados representan a la empresa mediante un sistema de colas con un único canal de servicio, donde el servidor y su cola representan y su demanda respectivamente.

La empresa fija el precio y produce una tasa esperada de producción dada cuando llegan los pedidos. Cuando la tasa de llegada de pedidos excede la tasa de producción los pedidos pasan a formar parte de una cola.

Por simplicidad se supone que el proceso de servicio es un proceso estocástico estacionario de Poisson con tasa de servicio esperada (número medio de individuos servidos por unidad de tiempo) dada por u siendo el tiempo esperado de servicio de un individuo 1/u. En la literatura existe u es identificado con la capacidad de la empresa.

En cuanto a la demanda se supone que los compradores desean una unidad del servicio y que llegan individualmente al mercado, una llegada en cada momento, de acuerdo con un proceso estocástico estacionario de Poisson con valor esperado dado por λ. De ahí, los intervalos de tiempo entre llegadas sucesivas son independientes y se distribuyen según una exponencial con valor esperado 1/ λ. Esencialmente, λ es el equivalente estocástico a la cantidad demandada en un escenario de incertidumbre.


Básicamente se quiere analizar el proceso de aplicación de una teoría puramente estadística, como lo es la teoría de colas en la modelización de las distintas estructuras tradicionales de mercado, para esto se requiere la modelización de la empresa, comportamiento del consumidor y el análisis económico de los distintos modelos.

Aquí les dejo el articulo para aquellos que deseen ampliar mas la información y conocer más al respecto: dialnet.unirioja.es/servlet/fichero_articulo?codigo=176025&orden...


CONCLUSIONES



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La teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. La formación de colas es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva.

Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también son costosas por tanto para la empresa ya que producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes.

La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.

Pero si utilizamos el concepto de "clientes internos" en la organización de la empresa, asociándolo a la teoría de las colas, nos estaremos aproximando al modelo de organización empresarial "just in time" en el que se trata de minimizar el costo asociado a la ociosidad de recursos en la cadena productiva.


los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuacion de estos sistemas pude tener un efecto importante sobre la calidad de vida y la productividad.

Para estudiar estos sistemas, las teoria de colas formula modelos matematicos que representan su operacion y despues usa estos modelos para obtener medidad de desempeño. Este analisis proporciona informacion vital para diseñar de manera efectiva sistemas de colas que logren un balance apropiado entre el costo de proporcionar el servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio.

La sitribucion exponecnial uega un papel fundamental en la teoria de colas para representar la distribucion de los tiempos entre llegas y de servicio, ya que esta suposicion permite represnetar un sstema de colas como una cadena de Markov de tiempo continuo.

Los modelos de disciplina de prioridades son utiles para la situacion comun en la que se da prioridad a algunas categorias de clientes sobre otras para recibir el servicio.

En otra situacion comun los clientes deben recibir servicio en distintas estaciones o instalaciones. Los modelos de redes de colas se usan cada vez mas en estas situaciones. Estas es un area especialmente activa en la investigacion actual.